QUEM É FIBONACCI

O seu nome completo era Leonardo de Pisa. Ficou conhecido como Fibonacci, devido ao facto de Fibonacci ser um diminutivo de fillius Bonacci, que queria provavelmente dizer filho de Bonacci. Nasceu em Pisa (Itália) por volta de 1175. Desde muito jovem Leonardo visitou o Oriente e o Norte de África, onde o sistema de numeração hindu era já largamente usado.

• Ao longo das suas viagens conheceu a obra de al-Khwarismi e assimilou numerosas informações aritméticas e algébricas que compilou no seu primeiro livro " Liber Abacci" (o livro dos ábacos), que teve uma enorme influência para a introdução na Europa do sistema de numeração hindu-Árabe.

• Foi neste livro que Fibonacci introduziu o conceito dos números de Fibonacci e da sucessão de Fibonacci, tema do nosso trabalho.

• Escreveu depois " Pratica Geometriae " onde analogamente descreve as suas recolhas sobre Geometria e Trigonometria.

• Mas Fibonacci não foi apenas um compilador, pois estes livros contêm muitos exemplos não encontrados em documentos árabes.

• Difundiu nos seus livros, os saberes matemáticos de origem indiana e árabe e estudou as operações elementares, assim como os números naturais, a decomposição de números em factores primos, as fracções e as equações entre outros.

• Mas a concepção que Fibonacci apresentou no seu livro "Liber abacci" conhecido agora como os números de Fibonacci foi o que  mais o popularizou entre os outros matemáticos da sua época.

• Pensa-se que Fibonacci terá morrido em 1250 em Pisa.

CURIOSIDADES SOBRE FIBONACCI

SOBRE OS NOMES DE FIBONACCI:

Fibonacci pronuncia-se: Fib-on-arch-ee ou fee-bur-narch-ee.

Provavelmente, é mais correcto chamar-lhe Leonardo Pisano, ou seja, Leonardo de Pisa.

Ocasionalmente, ele também assinava como Leonardo Bigollo (na Toscania, Bigollo significava viajante).

Os autores modernos falam dele como Fibonacci, mas olhando para livros antigos podemos ver as variações apresentadas àcerca do seu nome.

ONDE SE ENCONTRA FIBONACCI?

Fibonacci foi enterrado num cemitério em Pisa, perto da Catedral desta cidade. Ao fundo desse cemitério, encontra-se uma estátua de Fibonacci. Para saber mais sobre Pisa clique na figura

OBRAS DE FIBONACCI:

Fibonacci escreveu cinco obras: quatro livros e uma que foi preservada como carta.

Os quatro livros de Fibonacci:

Liber abacci: 1202.

Foi revisto em 1228. Foi neste livro que Fibonacci falou pela primeira vez do problema dos coelhos.

Practica geometriae: 1220.

                Este é um livro sobre geometria.

Flos: 1225.

Liber quadratorum: 1225.

                É o maior livro que Fibonacci escreveu.

SUCESSÃO DE FIBONACCI

O que é uma sucessão

O problema dos coelhos

No livro a que nos referimos anteriormente, Líber Abaci, Fibonacci introduziu um problema por ele formulado que veio dar origem posteriormente a uma sucessão. Essa sucesão ficou conhecida na história como a Sucessão de Fibonacci e teve lugar no ano de 1202, quando Fibonacci se interessou pela reprodução dos coelhos. Ele criou então um cenário imaginário com as condições ideais, sob as quais os coelhos se poderiam então procriar.O objectivo era responder à seguinte questão: Quantos pares de coelhos é que vão existir daqui a  um ano?

Condições: No primeiro mês temos um coelho macho e um coelho fêmea. Estes dois coelhos acabaram de nascer. Um coelho só atinge a maturidade sexual ao fim de um mês. O período de gestação de um coelho dura um mês. Ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses. A mãe irá dar todos os meses um coelho macho e um coelho fêmea. Os coelhos nunca morrem.

Demonstração:
Ao fim de um ano (12 meses) Fibonacci concluiu que:

Mês #0 - No início da experiência existe apenas um par de coelhos.Mês #1 – Após um mês, os coelhos acasalaram mas ainda não deram à luz (portanto existe somente um par de coelhos). Mês #2 – Neste mês já a fêmea deu à luz um par de coelhos. Existem agora dois pares de coelhos. Mês #3 – Depois de 3 meses, o par inicial de coelhos dá à luz mais um par de coelhos. No entanto, o segundo par acasala. Isto faz então um total de três pares. Mês #4 – Aos 4 meses, o par original tem mais um par de coelhos. O par nascido no mês #2 também dá à luz. O par de coelhos nascido no mês #3 acasalam, mas ainda não dão à luz. Isto faz um total de cinco pares. Mês #5 – Aos 5 meses, todos os pares que nasceram até há dois meses dão à luz. Isto totaliza oito pares. ...

Será que se consegue encontrar uma maneira de saber o número exacto de coelhos num determinado mês,sem ter de determinar o número de coelhos de todos os meses anteriores?
Claro que sim. Para isso é que serve a matemática.
Então quantos pares de coelhos nascem em cada mês?
É fácil. Como demora dois meses para cada novo par dar à luz, então cada par de coelhos que já existia há dois meses atrás irá dar à luz um novo par de coelhos. Por outras palavras, o número de novos pares de coelhos de cada mês, é igual ao número de coelhos nascidos dois meses antes.
Como nós queremos o número de pares de coelhos que estavam vivos antes dos novos nascerem, então  este número é o mesmo número de pares de coelhos que existem no mês anterior.
Concluindo, o número de pares de coelhos em determinado mês, é a soma dos pares de coelhos existentes nos dois meses anteriores a este.

Matematicamente, temos:

Fn = Fn-1 + Fn-2 ,n natural

Sucessão de Fibonacci

Os 100 primeiros números

MATEMÁTICA E OS NÚMEROS DE FIBONACCI

Os números de Fibonacci podem relacionar-se com várias outras temas de matemática.
Embora a sucessão de Fibonacci se represente frequentemente por: F(n)=F(n+1)+F(n+2) com n natural, existem diversas fórmulas e propriedades relacionadas com esta sucessão.
Também existem ciclos formados com os últimos dígitos dos números de Fibonacci, assim como algumas propriedades interessantes relativamente aos seus múltiplos.
O triângulo de Pascal e o triângulo de Pitágoras também se relacionam com os números desta sucessão.  Vamos ver ainda como podemos obter uma espiral de Fibonacci a partir dos números de Fibonacci.
Aprenda ainda um truque para que possa fazê-lo a alunos, colegas e amigos.

A NATUREZA E FIBONACCI

Os números de Fibonacci ligam-se facilmente à natureza. É possível encontrá-los no arranjo das folhas do ramo de uma planta, nas copas das árvores ou até mesmo no número de pétalas das flores. Podemos também encontrar a espiral de Fibonacci nas sementes das flores, em frutos e pinhas.

Arranjos nas folhas:

Os arranjos das folhas de algumas plantas em torno do caule são números de Fibonacci. Com este arranjo, todas as folhas conseguem apanhar os raios solares de igual forma. Quando chove, o escoamento da água torna-se também mais fácil.

Na figura à esquerda, podemos contar as folhas, seguindo-as pela ordem que aparecem, até encontrar uma folha exactamente na vertical da primeira. Na planta do topo contamos três rotações no sentido dos ponteiros do relógio, antes de encontrarmos a folha na mesma direcção da primeira. Passamos por cinco folhas, até que isso aconteça. Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros do relógio, precisamos de duas rotações. Os algarismos 2, 3 e 5 são como vimos, números da sucessão de Fibonacci. Podemos escrever então 3\5 de volta por folha. Na outra planta, para encontrarmos a folha na mesma direcção da primeira tem de se fazer cinco rotações no sentido dos ponteiros do relógio . Passamos por oito folhas até que isso aconteça. Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros do relógio, precisamos de três rotações. Os algarismos 3, 5 e 8 são como vimos, números da sucessão de Fibonacci. De igual modo podemos escrever 5\8 de volta por folha.

Podemos agora ver alguns exemplos de plantas em que isto acontece:

1\2 olmo, tília, limeira

1\3 faia, aveleira, amora silvestre

2\5 carvalho, cerejeira, macieira, azevinho, ameixieira, cardo-morto

3\8 choupo, álamo, roseira, pereira, salgueiro

5\13 amendoeira

ESPIRAIS DE FIBONACCI NAS:

Sementes de flores:

Os números de Fibonacci também podem ser vistos na organização das sementes na coroa das flores. À esquerda, encontra-se o diagrama de como o girassol ou uma margarida podem parecer quando aumentados. O centro é marcando com um ponto preto. Pode ver que as sementes parecem formar espirais a curvar tanto para a direita como para a esquerda. Se contar essas espirais que partem da direita, a partir da borda da figura, são 34. Para o outro lado quantas são? Verá que esses dois números são vizinhos na série de Fibonacci.

O mesmo acontece nas sementes reais da natureza. A razão, parece estar na forma da distribuição óptima das sementes, não importando o seu tamanho,  mas sim a sua distribuição uniforme , desde que não estejam acumuladas no centro nem demasiado afastadas da margem.

Se contar as espirais perto do centro nas duas direcções, serão ambos números de Fibonacci.

Em baixo estão algumas figuras de 500, 1000 e 5000 sementes.

Para ver melhor clique na figura

PINHAS

Da mesma forma, o número de espirais de Fibonacci pode ser encontrado frequentemente em muitas outras formas vegetais como sejam: as folhas das cabeças das alfaces, a couve-flor, as camadas das cebolas ou os padrões de saliências dos ananases e da pinhas, como se pode ver nesta figura.

As pinhas mostram claramente as espirais de Fibonacci. Vemos à esquerda uma pinha e à direita espirais verdes desenhadas numa direcção e vermelhas na outra.

Consegue contar as espirais verdes e as espirais vermelhas? O número é-lhe familiar?

AS RAMIFICAÇÔES E OS NÙMEROS DE FIBONACCI:

Uma planta em particular, mostra os números da sucessão de Fibonacci nos seus "pontos de crescimento". Quando a planta tem um novo rebento, leva dois meses a crescer até que as ramificações fiquem sufecientemente fortes. Se a planta ramifica todos os meses, depois disso, no ponto de ramificação, obtemos uma figura semelhante à de baixo:

Uma planta que cresce de forma semelhante a esta, é a espirradeira ou cevadilha.

CURIOSIDADES SOBRE A NATUREZA

O NÚMERO DE OURO E FIBONACCI

O fascínio pelo número de ouro, data de há mais de 2 000 anos.  Os "antigos" aperceberam-se que a arte e a arquitectura baseadas na razão de ouro, eram invulgarmente agradáveis à vista. A razão de ouro começou por ser definida em termos geométricos

O número de ouro pode ser encontrado através da razão da largura e do comprimento de um rectângulo de ouro.

Mas antes de prosseguirmos, iremos explicar o que se entende por rectângulo de ouro.

Denomina-se rectângulo de ouro, um rectângulo que, quando é dividido em duas partes e em que uma dessas partes seja um quadrado, então o que resta terá que ser um rectângulo com as mesmas proporções do rectângulo inicial.

Consideremos então o seguinte rectângulo de ouro:

...

Se retirarmos a este rectângulo o quadrado de lado x ( o quadrado a ), obtém-se o novo rectângulo de ouro (o rectângulo b) de dimensões x e y – x. Repetindo a operação, obtém-se a seguinte sequência de rectângulos de ouro (rectângulo de cor amarela):

...

O processo anterior pode-se realizar de forma inversa. Em vez de se ir dividindo o rectângulo inicial num rectângulo de ouro e num quadrado, partir-se-á de um quadrado de forma a obter sucessivos rectângulos de ouro:

Como podemos observar pelo desenho, os números que vão aparecendo em cada novo quadrado, são números de Fibonacci.

Esta figura mostra, como se pode desenhar uma espiral, unindo quartos de círculos em cada novo quadrado (inscrito no rectângulo de ouro). A espiral obtida é conhecida como a espiral de Fibonacci.

Mas o que é que o número de ouro tem a ver com a sucessão de Fibonacci?

O número de ouro tem o valor j = ( 1 + Ö 5 )/2 (= 1,618 033 989...)

Como se lembram da secção da Sucessão de Fibonacci, temos a seguinte sequência de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233....

Se dividirmos cada um destes números pelo seu antecedente, reparamos que essa razão vai tender para um certo valor.

Isto é, se fizermos F₂/F₁=1; F₃/F₂=2; F₄/F₃=1,5; F₅/F₄=1,6(6); F₆/F₅=1,6 e se continuarmos assim sucessivamente, obtemos a seguinte sequência de números:

1,000 000; 2,000 000; 1,500 000; 1,666 666; 1,600 000; 1.625 000; 1,615 385; 1,619 048; 1,617 647; 1,618 182; 1,617 978; 1,618 056; 1,618 026; 1,618 037; 1,618 033; ...

Então F_n+1/F_n aproxima-se cada vez mais de j(Phi)

Esta expansão decimal prolongar-se-á sem nunca se repetir (logo é um número irracional).

De facto, quando se prolongam estas "razões de Fibonacci" indefinidamente, o valor gerado aproxima-se cada vez mais do número de ouro.

A família das abelhas

Existem factos sobre a família das abelhas que devemos conhecer: por exemplo algumas abelhas não têm pai e mãe!

Na colónia das abelhas existe uma especial: a rainha.

Há muitas abelhas trabalhadoras que embora sejam fêmeas não põem ovos.

Os zangões são machos. Alguns deles não trabalham. Os machos são produzidos pelos ovos infertilizados da rainha. Logo, só têm uma mãe e não têm pai.

Todas as fêmeas são produzidas quando a rainha acasalou com um macho e assim têm pai e mãe. As fêmeas geralmente acabam como trabalhadoras, mas algumas são alimentadas com uma substância especial, chamada jóia real, que faz com que elas se tornem rainhas. Elas estão prontas para se irem embora e formar a sua colónia, assim que as abelhas construírem um enxame e deixarem a sua casa (colmeia) à procura de um novo lugar para construírem o seu ninho.

Concluímos que as fêmeas têm dois pais e os machos uma mãe.

Consegue dizer-nos quantos trisavôs tem cada macho e cada fêmea?

Solução da família das abelhas:

Para as fêmeas, obtemos uma resolução semelhante ao problema dos coelhos.

Para os machos, repare no seguinte diagrama:

Ele tem uma mãe. Ele tem dois avôs, pois a mãe é fêmea. Ele tem três bisavôs, pois a avó tem dois pais e o avô uma mãe. ...

N.º de :	Pai	avôs	bisavôs	trisavôs	tetravôs	...
Macho	1	2	3	5	8	...
Fêmea	2	3	5	8	13	...

Certamente que a tabela lhe lembra a sucessão de Fibonacci.

Para as fêmeas:

Como já se sabe, F(2)=1, F(3)=2, F(4)=5,...

Então para se saber o número de avôs de n-ésimo grau calcula-se  o termo, F(n+2) que, como vimos, é a soma de F(n+1) e F(n+2).

Para as machos:

Como já se sabe, F(3)=2, F(4)=5, F(5)=8...

Então para se saber o número de avôs de n-ésimo grau faz-se F(n+3), ou seja:  a soma de F(n+1) e F(n+2).